La catena del 1000 e la scomposizione lineare del cubo dei numeri. Il cubo di 1000 perle può essere scomposto in dieci quadrati e ciascuno di essi in dieci bastoncini, ognuno di dieci perle. Lasciando questi uniti soltanto per le estremità, otterremo una catena lunghissima che ci dà l’impressione della quantità, il migliaio, più esatta di quella che ci viene fornita dal cubo.
Se si paragona questa catena del 1000 con la catena del 100, si vede chiaramente la differenza tra quadrato e cubo. Ripiegando 10 volte la catena del mille in modo che le decine risultino bene accostate, avremo la parvenza di una successione di 10 quadrati.
Se vicina a questa si dispone la catena del 100, si nota che a ciascun bastoncino della catena del 100 corrisponde un quadrato di quella del 1000.
La reazione dei bambini di fronte a questo materiale è sorprendente: vorranno infatti contare la catena del mille, unità dopo unità. Poichè questa è un’operazione troppo lunga per poterla eseguire in una sola volta, i bambini la interrompono, ma non la abbandonano.
Lo stesso giorno, o il giorno seguente, riprendono l’operazione da dove l’avevano interrotta
e proseguono nel conteggio fino a concluderlo.
Sono vivamente interessati da questa successione di decine e centinaia e dalla somma di unità che si susseguono l’una all’altra. Contano e contano senza stancarsi.
Una variante dell’esercizio di conteggio delle perle che formano la catena del 1000, e che aiuta i bambini a comprendere meglio il valore dei numeri 1, 10, 100 e 1000, consiste nel predisporre in una grande stanza la sequenza lineare di tutto il materiale. Si forma la prima colonna con l’unità, la seconda con la decina, la terza col serpente del centinaio, e la quarta col serpente del migliaio: la sua lunghezza è impressionante! La maggior parte dei bambini provano grande piacere nel contare, appena si sentono capaci di farlo. Piace anche molto mettere le frecce dei numeri mentre contano.
Catene di perle Montessori – tutorial e free download. Le catene di perle sono serie di barrette (di perle colorate per i numeri da 1 a 9) e di perle dorate per la decina, che rappresentano in forma lineare il quadrato ed il cubo di ogni numero. Coi bambini più piccoli si prestano ad esercizi legati al contare ed all’esplorazione del numero e del sistema decimale, coi più grandi supporta lo studio delle potenze e dell’algebra.
Qui trovi qualche suggerimento per la costruzione in proprio del materiale, o in alternativa la versione stampabile gratuitamente; trovi invece presentazioni esercizi e giochi nella Giuda Didattica Montessori dedicata alla matematica, in particolare:
– contare la catena di 100 e le altre catene dei quadrati dei numeri
Partiamo dalla costruzione della catena del 100 e delle altre catene del quadrato dei numeri.
Questa è la catena del 100, cioè del quadrato di 10 (da realizzare naturalmente con le perle dorate)
Se desiderate realizzare il materiale con perle vere, dopo aver preparato le 10 barrette da dieci perle, congiungetele tra loro preparando degli anellini di fil di ferro:
Se non avete la possibilità di realizzare il materiale con perle vere, potete considerare l’idea di stampare e comporre sempre con anellini di fil di ferro o graffette queste catene pronte per la stampa:
Sia che usiate perle vere, sia che vogliate ricorrere alla versione stampabile, completano il materiale le frecce per contare (blu per le decine, rosse per le centinaia):
Le altre catene dei quadrati, oltre a quella del 100 (quadrato del 10) si preparano allo stesso modo, utilizzando le barrette di perle colorate per i numeri da 2 a 9 (il quadrato di 1 è 1):
congiungendo attraverso gli anellini di fil di ferro (o le graffette):
– 2 barrette del 2
– 3 barrette del 3
– 4 barrette del 4
– 5 barrette del 5
– 6 barrette del 6
– 7 barrette del 7
– 8 barrette dell’8
– 9 barrette del 9
è un materiale che, una volta preparato, si presta poi ad essere utilizzato anche per giochi con le tabelline e successivamente allo studio delle potenze dei numeri.
Questa è, se può essere utile, la versione stampabile:
E anche in questo caso, completano il materiale le frecce per contare; ho preparato una versione colorata (nei colori utilizzati per preparare il materiale stampabile) e una versione da colorare se utilizzate barrette di colori diversi:
La catena del 100 e la scomposizione lineare del quadrato dei numeri. Contare secondo la serie naturale dei numeri risulta interessante soltanto per una mente che già possiede il principio organizzatore degli ordini della numerazione decimale.
Per questo motivo, con i bambini, è molto importante partire dai punti fondamentali delle gerarchie, considerando le unità che guidano gli ordini del sistema: uno, dieci, cento, mille.
Per l’1 abbiamo una delle perle dorate:
per il 10 un bastoncino di perle:
per il 100 un quadrato costruito con 10 bastoncini di perle:
per il 1000 un cubo costruito con 10 quadrati:
Se invece di tenere le decine unite in forma di quadrato, le “sleghiamo”, mantenendole unite soltanto per le estremità, otterremo una catena di cento perle raggruppate in decine, ossia in bastoncini che si susseguono:
La catena del 100 impressiona per la sua lunghezza, più di quanto non lo faccia il quadrato per la sua superficie. La catena rappresenta il cammino delle unità che, attraverso le decine, vanno a formare il centinaio. Possiamo contare le unità a una a una, effettuando in tal modo la numerazione progressiva: uno, due, tre….nove, dieci, undici… trentotto, trentanove… novantanove, cento.
Le perle dorate Montessori e il sistema decimale: il sistema decimale è il fondamento sul quale ci basiamo per ordinare le quantità numeriche. Questo sistema è così sorprendente da permetterci di contare facilmente anche grandi quantità . Il calcolo poi non è che un’ulteriore abbreviazione dell’operazione del contare.
La chiave del sistema è la sua semplicità e la sua chiarezza, e semplicità e chiarezza sono anche le qualità necessarie per presentare ai bambini fatti e contenuti.
Per quanto riguarda l’apprendimento del sistema decimale, come accennato già qui,
il primo passo è aiutare il bambino a costruire il sistema decimale, e non contare o calcolare, perchè queste due abilità verranno acquisite con grande facilità in un secondo momento.
La prima preparazione del bambino all’aritmetica inizia nella Casa dei Bambini attraverso varie attività legate al contare, calcolare e leggere e scrivere i numeri entro la prima decina (con le aste numeriche,
ecc…). Inoltre il bambino ha già avuto modo di sperimentare che i simboli che rappresentano le quantità sono nove, oltre lo zero. Queste due conoscenze sono il fondamento dell’intero sistema decimale. Possiamo dire che la chiave del sistema decimale sta proprio nel gioco conclusivo tra il 9 e il 10.
Infatti, non appena si supera la quantità di 9 unità, non esistono cifre per rappresentare il nuovo gruppo che si forma; bisogna tornare daccapo, utilizzando la cifra 1. Per poter scrivere la cifra corrispondente a una quantità di dieci, bisogna ricorrere a una combinazione di cifre: il 10 non è che un tornare a contare da 1 a 9. Con nove cifre soltanto a nostra disposizione, possiamo organizzare i gruppi di unità in gerarchie successive, che possono ripetersi senza limite: il primo di ogni gerarchia è un 1 di dimensioni sempre più grandi, cioè di maggior valore:
u ______ da _____ h
1 ______ 1 ______ 1
2 ______ 2 ______ 2
3 ______ 3 ______ 3
4 ______ 4 ______ 4
5 ______ 5 ______ 5
6 ______ 6 ______ 6
7 ______ 7 ______ 7
8 ______ 8 ______ 8
9 ______ 9 ______ 9
Le tre file di cifre disposte al di sotto delle lettere u da h, indicano differenti gerarchie di unità: le unità semplici sotto ad u sono rappresentate dalle stesse cifre che ritroviamo anche nelle decine (da) e nelle centinaia (h). L’unica differenza è la posizione.
Prima di tutto, quindi, è necessario situare le gerarchie e rendersi conto del loro valore. La diversa posizione delle cifre si stabilisce aggiungendo uno zero in più per ogni intervallo della gerarchia: 1 10 100 indicano posizioni.
Il materiale che mettiamo a disposizione del bambino per fare in modo che possa comprendere con facilità e chiarezza il sistema decimale è triplice, e consiste di oggetti, numeri e parole. Gli oggetti sono le perle dorate. Tutto il materiale di perle relativo al sistema decimale è color oro, perchè si tratta per il bambino di un qualcosa di prezioso.
Il materiale delle perle dorate consiste di perle sciolte
e di bastoncini con dieci perle infilate e fissate in un filo metallico
vi sono poi quadrati di perle costruiti con dieci bastoncini, uniti in modo tale da formare un solo oggetto che è il “quadrato del cento”
e infine cubi ottenuti collocando uno sull’altro dieci quadrati e fissandoli tra loro in modo da formare un unico oggetto.
Trovi il tutorial per realizzare in proprio tutto il materiale delle perle dorate qui:
All’inizio daremo al bambino un solo cubo di perle, come punto di arrivo e limite del sistema. Per la prima presentazione del materiale al bambino offriremo 1 perla, 1 bastoncino, 1 quadrato e 1 cubo utilizzando la lezione in tre tempi (trovi molti esempi pratici più avanti).
Costruire il materiale delle perle colorate Montessori – queste sono le barrette delle perle colorate:
un po’ noioso forse, ma vale la pena farsele visto che un set di barrette (10 per tipo) costa circa 40 euro…
Scegliete un colore diverso per ogni numero, e perline delle stesse dimensioni. I colori indicati dalla Montessori sono:
uno rosso
due verde
tre rosa
quattro giallo
cinque azzurro
sei marrone
sette bianco
otto celeste (o grigio)
nove blu
dieci oro (la bacchetta del 10 del materiale delle perle dorate)
Per usarle per una vasta gamma di esercizi, preparatene almeno dieci per tipo (per le barrette dall’1 all’8), e undici per le barrette del 9. Per quelle del 10 invece l’ideale è averne almeno 54. L’ideale sarebbe scegliere perle colorate delle stesse dimensioni di quelle usate per costruire le perle dorate.
Successivamente ho utilizzato le perle avanzate dalla costruzione delle perle dorate (erano le perle di legno di una tenda), colorandole con acrilici spray, per avere il materiale completo delle perle colorate.
Soprattutto pensando alle insegnanti che sentono quanto la psicoartimetica Montessori potrebbe essere d’aiuto nella scuola, non solo per il sostegno, ho anche preparato del materiale “virtuale” stampabile:
Tornando al materiale “reale”, se prevedete di utilizzare le perle colorate anche per esercizi quali il serpente dell’addizione e tutti gli esercizi relativi al quadrato e al cubo dei numeri, vi occorreranno molte più perle di quelle che servono per i primi esercizi.
– per le barrette dell’1 possono bastare 45 pezzi
– per le barrette del 2 occorreranno: 45 barrette, un quadrato formato da 2 barrette, una catena formata sempre da 2 barrette, un cubo formato da 4 barrette e una catena sempre formata da 4 barrette:
– per le barrette del 3 occorreranno 45 barrette, un quadrato formato da 3 barrette e una catena sempre formata da 3 barrette; un cubo formato da 9 barrette e una catena sempre di 9 barrette:
– per le barrette del 4 servono 45 barrette, un quadrato formato da 4 barrette e una catena sempre di 4 barrette, un cubo formato da 16 barrette e una catena sempre formata da 16 barrette
e così via…
… per il 5 serviranno 45 barrette; un quadrato formato da 5 barrette e una catena formata da 5 barrette; un cubo formato da 5×5=25 barrette e una catena sempre di 25 barrette
… per il 6, 45 barrette; un quadrato formato da 6 barrette e una catena sempre di 6 barrette; un cubo formato da 6×6= 36 barrette e una catena sempre di 36 barrette
… per il 7, 45 barrette; un quadrato formato da 7 barrette e una catena sempre di 7 barrette; un cubo formato da 7×7= 49 barrette e una catena sempre di 49 barrette
… per il 8, 45 barrette; un quadrato formato da 8 barrette e una catena sempre di 8 barrette; un cubo formato da 8×8= 64 barrette e una catena sempre di 64barrette
… per il 9, 45 barrette; un quadrato formato da 9 barrette e una catena sempre di 9 barrette; un cubo formato da 9×9= 81 barrette e una catena sempre di 81 barrette
… per le perle dorate del 10, oltre alle perle dorate che occorrono per il sistema decimale, occorreranno 45 barrette del 10, un quadrato formato da 10 barrette e una catena sempre formata da 10 barrette (la catena del 100); un cubo formato da 10×10=100 barrette e una catena sempre formata da 100 barrette (la catena del 1000).
Per costruire i quadrati e i cubi potete fare riferimento al tutorial per la preparazione delle perle dorate:
consiste nel presentare al bambino i passaggi da una decina all’altra.
Il materiale delle perle colorate, predisposto per questo esercizio, rappresenta gruppi di unità da 1 a 9, riunite in bastoncini formati da 1 2 3 4 5 6 7 8 9 perle infilate in un filo che le raggruppa. Si tratta di barrette di perline infilate su fil di ferro, che terminano con due gancetti. Non è difficile realizzarle in proprio. Ogni barretta ha il suo codice colore. Se si acquistano, nel corso degli anni i fabbricanti hanno modificato i colori, ma l’importante è che i bambini della stessa classe le abbiano tutte dello stesso tipo.
Trovi il tutorial per preparare il materiale in proprio qui: costruire il materiale delle perle
I numeri sono rappresentati da perle di differente colore; i colori indicati dalla Montessori sono:
uno rosso
due verde
tre rosa
quattro giallo
cinque azzurro
sei marrone
sette bianco
otto celeste
nove blu
dieci oro (la bacchetta del 10 del materiale delle perle dorate)
In questo modo tutte le perle differiscono nell’aspetto dai bastoncini della decina, che sono tutti di colore dorato e sono usati anche per costruire la rappresentazione completa del sistema decimale, dove non sono i colori, ma il modo in cui le perle vengono raggruppate, a costituire il mezzo per il riconoscimento.
Il primo esercizio consiste nella costruzione del prospetto che comprende le combinazioni della decina con i gruppi di unità. Vicino ai bastoncini delle decine si collocano via via la serie di bastoncini di valore inferiore al 10, nella loro naturale successione.
Qui si vede chiaramente che, al di là del 9, non sussistono possibili combinazioni tra la decina e i gruppi di unità. Tuttavia, siccome le perle si accumulano accanto alla decina, il lavoro si potrebbe concludere collocando un secondo bastoncino dorato accanto al primo.
Un esercizio equivalente a questo può essere condotto anche coi cartelli dei numeri,
Creare combinazioni di barre colorate per raggiungere il 10 aiuta il bambino ad interiorizzare il concetto di addizione. Per i bambini più grandi che sono nuovi al metodo Montessori, raccomandiamo vivamente di introdurre questo esercizio, anche se il bambino sa già eseguire i calcoli a mente.
Materiale necessario: una serie di barrette di perle colorate, un vassoio
Presentazione
1. invitiamo il bambino ad unirsi a noi questo esercizio.
2. portiamo in tavola le perline su un vassoio
3. mettiamo un tappetino piccolo di feltro sul tavolo
4. mettiamo una barra del dieci sul tappeto, in verticale
5. contare ogni perlina, eventualmente aiutandosi con uno stecchino
6. dire al bambino che ora vogliamo fare dieci con le perline colorate
7. prendere la barretta del nove e posizionarla sul lato destro della barretta del dieci. Allineare le perline in alto in modo uniforme, in modo che il bambino veda chiaramente la lunghezza mancante.
8. chiedere al bambino se riesce a trovare la barretta che può servire ad arrivare a 10.
9. il bambino pone la barretta dell’uno sotto a quella del nove e conta le perline
10. se, ad esempio, il bambino ha scelto la barra del due invece di quella dell’uno il conteggio finale sarà 11. Lasciate che il bambino provi finché non trova la giusta combinazione.
11. Lasciate che il bambino continui da solo con le altre combinazioni.
Presentazione 2
Il bambino ha 5 set di barrette colorate. Conta le perline di ogni barretta e le sistema sul tavolo in ordine crescente o decrescente per formare rombi e triangoli.
Presentazione 3
Si chiede al bambino di formare con le barrette colorate il quadrato di ognuno dei numeri; ad esempio 2²=4, 3²=9, ecc…
Presentazione 4
Imparare i nomi dei numeri da 10 a 19 con le perle colorate
Soprattutto pensando alle insegnanti che sentono quanto la psicoartimetica Montessori potrebbe essere d’aiuto nella scuola, non solo per il sostegno, ho anche preparato del materiale “virtuale” stampabile:
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